Circuitos Digitais - Lógica de Limiar

Nos capítulos anteriores, implementamos vários circuitos combinacionais usando portas lógicas. Exceto a porta NOT, todas as portas lógicas restantes têm pelo menos duas entradas e uma única saída. Da mesma forma, othreshold gate também contém pelo menos uma entrada e apenas uma saída.

Além disso, ele contém os respectivos pesos para cada entrada e um valor limite. Os valores desses pesos e limiares podem ser de qualquer número real finito.

Noções básicas de porta de limiar

Sejam as entradas da porta de limiar X 1 , X 2 , X 3 ,…, X n . Os pesos correspondentes dessas entradas são W 1 , W 2 , W 3 ,…, W n . osymbol de Threshold gate é mostrado na figura a seguir.

Threshold gateé representado por um círculo e tem 'n' entradas, X 1 a X n e uma única saída, Y. Este círculo é dividido em duas partes. Uma parte representa os pesos correspondentes às entradas e outra parte representa o valor limite, T.

A soma dos produtos dos insumos com pesos correspondentes é conhecida como weighted sum. Se esta soma ponderada for maior ou igual ao valor do Limiar, T, então apenas a saída Y será igual a um. Caso contrário, a saída, Y será igual a zero.

Mathematically, podemos escrever essa relação entre as entradas e a saída da porta de limiar como abaixo.

$$ Y = 1, se \: \: W_ {1} X_ {1} + W_ {2} X_ {2} + W_ {3} X_ {3} + ... W_ {n} X_ {n} \ geq T $$

= 0, caso contrário.

Portanto, podemos implementar várias portas lógicas e funções Booleanas apenas alterando os valores dos pesos e / ou valor do Limiar, T.

Exemplo

Deixe-nos encontrar o simplified Boolean function para a seguinte porta de limiar.

Esta porta de limiar tem três entradas X 1 , X 2 , X 3 e uma saída Y.

Os pesos correspondentes às entradas X 1 , X 2 e X 3 são W 1 = 2, W 2 = 1 e W 3 = -4 respectivamente.

O valor da porta de limiar é T = -1.

o weighted sum da porta de limiar é

$$ W = W_ {1} X_ {1} + W_ {2} X_ {2} + W_ {3} X_ {3} $$

Substitua os pesos dados na equação acima.

$$ \ Rightarrow W = 2X_ {1} + X_ {2} -4X_ {3} $$

A saída da porta de limiar, Y será '1' se W ≥ −1, caso contrário, será '0'.

Os seguintes table mostra a relação entre a entrada e a saída para todas as combinações possíveis de entradas.

Entradas Soma ponderada Resultado
$ X_ {1} $ $ X_ {2} $ $ X_ {3} $ $ W = 2X_ {1} + X_ {2} -4X_ {3} $ $ Y $
0 0 0 0 1
0 0 1 -4 0
0 1 0 1 1
0 1 1 -3 0
1 0 0 2 1
1 0 1 -2 0
1 1 0 3 1
1 1 1 -1 1

A partir da tabela acima, podemos escrever o Boolean function para saída, Y como

$$ Y = \ sum m \ left (0,2,4,6,7 \ right) $$

A simplificação desta função booleana usando 3 variable K-Map é mostrado na figura a seguir.

Portanto, o simplified Boolean function para determinada porta de limiar é $ Y = {X_ {3} '} + X_ {1} X_ {2} $.

Síntese de funções de limite

A porta de limiar também é chamada de universal gateporque podemos implementar qualquer função booleana usando portas de limiar. Às vezes, pode não ser possível implementar algumas portas lógicas e funções booleanas usando uma única porta de limiar. Nesse caso, podemos exigir várias portas Threshold.

Siga estes steps para implementar uma função booleana usando uma única porta de limiar.

Step 1 - Formule um Truth table para determinada função booleana.

Step 2 - Na tabela Verdade acima, adicione (inclua) mais uma coluna, que fornece a relação entre weighted sums e Threshold value.

Step 3 - Escreva a relação entre as somas ponderadas e o limite para cada combinação de entradas conforme mencionado abaixo.

  • Se a saída da função booleana for 1, a soma ponderada será maior ou igual ao valor do Limite para essa combinação de entradas.

  • Se a saída da função booleana for 0, a soma ponderada será menor que o valor do Limite para essa combinação de entradas.

Step 4 - Escolher os valores dos pesos e Limiares de forma que satisfaçam todas as relações presentes na última coluna da tabela acima.

step 5 - Desenhe o symbol da porta de limiar com esses pesos e valor de limiar.

Exemplo

Vamos implementar o seguinte Boolean function usando uma única porta de limiar.

$$ Y \ left (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} \ right) = \ sum m \ left (0,2,4,6,7 \ right) $$

A função booleana fornecida é uma função de três variáveis, que é representada na forma da soma dos termos mínimos. oTruth table desta função é mostrado abaixo.

Entradas Resultado
X1 X2 X3 Y
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1

Agora, vamos adicionar (incluir) mais uma coluna à tabela da Verdade acima. Esta última coluna contém as relações entreweighted sums (W) and Threshold valor (T) para cada combinação de entradas.

Entradas Resultado Relações entre W & T
X1 X2 X3 Y
0 0 0 1 0 ≥T
0 0 1 0 W 3 <T
0 1 0 1 W 2 ≥ T
0 1 1 0 W 2 + W 3 <T
1 0 0 1 W 1 ≥ T
1 0 1 0 W 1 + W 3 <T
1 1 0 1 W 1 + W 2 ≥ T
1 1 1 1 W 1 + W 2 + W 3 ≥ T

A seguir estão as conclusões da tabela acima.

  • O valor do Limiar deve ser zero ou negativo com base na primeira relação.

  • O valor de W 3 deve ser negativo com base na primeira e na segunda relações.

  • Os valores de W 1 e W 2 devem ser maiores ou iguais ao valor limite com base na quinta e terceira relações.

  • W 2 deve ser maior que W 3 com base na quarta relação.

Podemos escolher os seguintes valores para pesos e Limiar com base nas conclusões acima.

W 1 = 2, W 2 = 1, W 3 = -4 & T = -1

o symbol de Threshold gate com os valores acima é mostrado abaixo.

Portanto, esta porta de limiar implementa o dado Boolean function, $ Y \ left (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} \ right) = \ sum m \ left (0,2,4,6,7 \ right) $.