Circuitos Aritméticos Digitais

Neste capítulo, vamos discutir sobre os circuitos aritméticos básicos como somador binário e subtrator binário. Esses circuitos podem ser operados com valores binários 0 e 1.

Somador Binário

A operação aritmética mais básica é a adição. O circuito, que realiza a adição de dois números binários, é conhecido comoBinary adder. Primeiro, vamos implementar um somador, que realiza a adição de dois bits.

Meio somador

Metade somador é um circuito combinacional, que realiza a adição de dois números binários A e B são de single bit. Ele produz a soma de duas saídas, S & carry, C.

o Truth table de meio somador é mostrado abaixo.

Entradas Saídas
UMA B C S
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0

Quando fazemos a adição de dois bits, a soma resultante pode ter os valores variando de 0 a 2 em decimal. Podemos representar os dígitos decimais 0 e 1 com um único bit em binário. Mas, não podemos representar o dígito decimal 2 com um único bit em binário. Portanto, exigimos dois bits para representá-lo em binário.

Deixe, soma, S é o bit menos significativo e transporte, C é o bit mais significativo da soma resultante. Para as três primeiras combinações de entradas, carry, C é zero e o valor de S será zero ou um com base nonumber of onespresente nas entradas. Mas, para a última combinação de entradas, carry, C é um e sum, S é zero, já que a soma resultante é dois.

Da tabela da verdade, podemos escrever diretamente o Boolean functions para cada saída como

$$ S = A \ oplus B $$

$ C = AB $

Podemos implementar as funções acima com porta Ex-OR de 2 entradas e porta AND de 2 entradas. ocircuit diagram de meio somador é mostrado na figura a seguir.

No circuito acima, uma porta Ex-OR de duas entradas e uma porta AND de duas entradas produzem soma, S & carry, C respectivamente. Portanto, o meio-somador realiza a adição de dois bits.

Full Adder

Full somador é um circuito combinacional, que realiza o addition of three bitsA, B e C em . Onde, A e B são os dois bits significativos paralelos e C in é o bit de transporte, que é gerado no estágio anterior. Este somador Full também produz soma de duas saídas, S & carry, C out , que são semelhantes a Half somador.

o Truth table do somador completo é mostrado abaixo.

Entradas Saídas
A B Cin Cout S
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1

Quando fazemos a adição de três bits, a soma resultante pode ter os valores variando de 0 a 3 em decimal. Podemos representar os dígitos decimais 0 e 1 com um único bit em binário. Mas, não podemos representar os dígitos decimais 2 e 3 com um único bit em binário. Portanto, exigimos dois bits para representar esses dois dígitos decimais em binário.

Deixe, sum, S é o bit menos significativo e carry, C out é o bit mais significativo da soma resultante. É fácil preencher os valores das saídas para todas as combinações de entradas na tabela verdade. Apenas conte onumber of onespresente nas entradas e escreva o número binário equivalente nas saídas. Se C in for igual a zero, a tabela verdade do somador completo é igual à tabela verdade do meio somador.

Iremos obter o seguinte Boolean functions para cada saída após a simplificação.

$$ S = A \ oplus B \ oplus C_ {em} $$

$ c_ {saída} = AB + \ esquerda (A \ oplus B \ direita) c_ {dentro} $

A soma, S é igual a um, quando o número ímpar de uns estiver presente nas entradas. Sabemos que a porta Ex-OR produz uma saída, que é uma função ímpar. Portanto, podemos usar duas portas Ex-OR de 2 entradas ou uma porta Ex-OR de 3 entradas para produzir a soma S. Podemos implementar o carry, C out usando duas portas AND de 2 entradas e uma porta OR. ocircuit diagram de somador completo é mostrado na figura a seguir.

Este somador é chamado de Full adderporque para implementar um somador completo, exigimos dois meio somadores e um portal OR. Se C in for zero, o somador completo se tornará meio somador. Podemos verificar isso facilmente no diagrama de circuito acima ou nas funções booleanas de saídas do somador completo.

Adicionador binário de 4 bits

O somador binário de 4 bits realiza o addition of two 4-bit numbers. Sejam os números binários de 4 bits, $ A = A_ {3} A_ {2} A_ {1} A_ {0} $ e $ B = B_ {3} B_ {2} B_ {1} B_ {0} $. Podemos implementar somador binário de 4 bits de uma das seguintes maneiras.

  • Use um meio somador para fazer a adição de dois bits menos significativos e três somadores completos para fazer a adição de três bits significativos mais altos.

  • Use quatro somadores completos para uniformidade. Visto que o carry inicial C in é zero, o somador completo que é usado para adicionar os bits menos significativos torna-se meio somador.

Por enquanto, consideramos a segunda abordagem. oblock diagram de somador binário de 4 bits é mostrado na figura a seguir.

Aqui, os 4 somadores completos são colocados em cascata. Cada somador Full está obtendo os respectivos bits de duas entradas paralelas A e B. A saída de carry de um somador Full será a entrada de carry do somador Full de ordem superior subsequente. Este somador binário de 4 bits produz a soma resultante com no máximo 5 bits. Portanto, a realização da última etapa Full adicionador será o MSB.

Desta forma, podemos implementar qualquer somador binário de ordem superior apenas colocando em cascata o número necessário de somadores completos. Este somador binário também é chamado deripple carry (binary) adder porque o transporte se propaga (ondula) de um estágio para o próximo.

Subtrator Binário

O circuito, que realiza a subtração de dois números binários, é conhecido como Binary subtractor. Podemos implementar o subtrator binário seguindo dois métodos.

  • Subtratores completos em cascata
  • Método do complemento de 2

No primeiro método, obteremos um subtrator binário de n bits colocando 'n' subtratores completos em cascata. Então, primeiro você pode implementar meio subtrator e subtrator completo, semelhante a meio somador e somador completo. Então, você pode implementar um subtrator binário de n bits, cascateando 'n' subtratores completos. Portanto, teremos dois circuitos separados para adição e subtração binárias de dois números binários.

No segundo método, podemos usar o mesmo somador binário para subtrair dois números binários apenas fazendo algumas modificações na segunda entrada. Assim, ocorre a operação de adição binária internamente, mas a saída é a subtração resultante.

Sabemos que a subtração de dois números binários A e B pode ser escrita como,

$$ AB = A + \ left ({2} 's \: elogio \: de \: B \ right) $$

$ \ Rightarrow AB = A + \ left ({1} 's \: compliment \: of \: B \ right) + 1 $

Subtrator binário de 4 bits

O subtrator binário de 4 bits produz o subtraction of two 4-bit numbers. Sejam os números binários de 4 bits, $ A = A_ {3} A_ {2} A_ {1} A_ {0} $ e $ B = B_ {3} B_ {2} B_ {1} B_ {0} $. Internamente, a operação do subtrator binário de 4 bits é semelhante à do somador binário de 4 bits. Se os bits normais do número binário A, bits complementados do número binário B e transporte inicial (emprestar), C em como um, são aplicados ao somador binário de 4 bits, então ele se torna subtrator binário de 4 bits. oblock diagram de subtrator binário de 4 bits é mostrado na figura a seguir.

Este subtrator binário de 4 bits produz uma saída, que tem no máximo 5 bits. Se o número binário A for maior que o número binário B, então o MSB da saída é zero e os bits restantes mantêm a magnitude de AB. Se o número binário A for menor que o número binário B, o MSB da saída será um. Portanto, pegue o complemento de 2 da saída para obter a magnitude de AB.

Desta forma, podemos implementar qualquer subtrator binário de ordem superior apenas colocando em cascata o número necessário de somadores completos com as modificações necessárias.

Adicionador / Subtrator Binário

O circuito, que pode ser usado para realizar a adição ou subtração de dois números binários a qualquer momento, é conhecido como Binary Adder / subtractor. Ambos, somador binário e subtrator binário contêm um conjunto de somadores completos, que são colocados em cascata. Os bits de entrada do número binário A são aplicados diretamente no somador binário e no subtrator binário.

Existem duas diferenças nas entradas de somadores completos que estão presentes no somador binário e no subtrator binário.

  • Os bits de entrada do número binário B são aplicados diretamente aos somadores completos no somador binário, enquanto os bits complementados do número binário B são aplicados aos somadores completos no subtrator binário.

  • O transporte inicial, C 0 = 0, é aplicado no somador binário de 4 bits, enquanto o transporte inicial (empréstimo), C 0 = 1, é aplicado no subtrator binário de 4 bits.

Nós sabemos que um 2-input Ex-OR gateproduz uma saída, que é a mesma da primeira entrada quando a outra entrada é zero. Da mesma forma, ele produz uma saída, que é um complemento da primeira entrada quando a outra entrada é uma.

Portanto, podemos aplicar os bits de entrada do número binário B a portas Ex-OR de 2 entradas. A outra entrada para todas essas portas Ex-OR é C 0 . Portanto, com base no valor de C 0 , as portas Ex-OR produzem os bits normais ou complementados do número binário B.

Adicionador / subtrator binário de 4 bits

O somador / subtrator binário de 4 bits produz a adição ou a subtração de dois números de 4 bits com base no valor de transporte ou empréstimo inicial, 0 . Sejam os números binários de 4 bits, $ A = A_ {3} A_ {2} A_ {1} A_ {0} $ e $ B = B_ {3} B_ {2} B_ {1} B_ {0} $. A operação do somador / subtrator binário de 4 bits é semelhante à do somador binário de 4 bits e do subtrator binário de 4 bits.

Aplique os bits normais dos números binários A e B e carregue ou tome emprestado, C 0 externamente para um somador binário de 4 bits. oblock diagram de somador / subtrator binário de 4 bits é mostrado na figura a seguir.

Se o carry inicial, 0 é zero, cada somador completo obtém os bits normais dos números binários A e B. Assim, o somador / subtrator binário de 4 bits produz uma saída, que é oaddition of two binary numbers A e B.

Se empréstimo inicial, 0 é um, então cada somador completo obtém os bits normais do número binário A e bits complementados do número binário B. Assim, o somador / subtrator binário de 4 bits produz uma saída, que ésubtraction of two binary numbers A e B.

Portanto, com a ajuda de portas Ex-OR adicionais, o mesmo circuito pode ser usado para adição e subtração de dois números binários.