Circuitos digitais - formas canônicas e padrão
Obteremos quatro termos de produto booleanos combinando duas variáveis xey com operação lógica AND. Esses termos de produto booleanos são chamados demin terms ou standard product terms. Os termos mínimos são x'y ', x'y, xy' e xy.
Da mesma forma, obteremos quatro termos de soma booleana combinando duas variáveis xey com operação lógica OR. Esses termos de soma booleana são chamados deMax terms ou standard sum terms. Os termos máximos são x + y, x + y ', x' + y e x '+ y'.
A tabela a seguir mostra a representação dos termos mínimos e dos termos MAX para 2 variáveis.
| x | y | Termos mínimos | Termos máximos |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | m 0 = x'y ' | M 0 = x + y |
| 0 | 1 | m 1 = x'y | M 1 = x + y? |
| 1 | 0 | m 2 = xy ' | M 2 = x' + y |
| 1 | 1 | m 3 = xy | M 3 = x '+ y' |
Se a variável binária é '0', então ela é representada como complemento da variável em termo mínimo e como a própria variável em termo máximo. Da mesma forma, se a variável binária é '1', então ela é representada como complemento da variável no termo Max e como a própria variável no termo min.
Na tabela acima, podemos facilmente notar que os termos mínimos e os termos máximos são complementares um do outro. Se houver 'n' variáveis booleanas, haverá 2 n termos mínimos e 2 n termos máximos.
Formulários canônicos de SoP e PoS
Uma tabela verdade consiste em um conjunto de entradas e saídas. Se houver 'n' variáveis de entrada, haverá 2 n combinações possíveis com zeros e uns. Portanto, o valor de cada variável de saída depende da combinação das variáveis de entrada. Portanto, cada variável de saída terá '1' para alguma combinação de variáveis de entrada e '0' para alguma outra combinação de variáveis de entrada.
Portanto, podemos expressar cada variável de saída de duas maneiras.
- Formulário de SoP canônico
- Formulário PoS canônico
Formulário de SoP canônico
A forma Canonical SoP significa a forma Canonical Soma of Products. Neste formulário, cada termo do produto contém todos os literais. Portanto, esses termos de produto nada mais são do que os termos mínimos. Portanto, a forma canônica de SoP também é chamada desum of min terms Formato.
Primeiro, identifique os termos mínimos para os quais a variável de saída é um e, em seguida, faça o OR lógico desses termos mínimos para obter a expressão booleana (função) correspondente a essa variável de saída. Esta função booleana estará na forma de soma de termos mínimos.
Siga o mesmo procedimento para outras variáveis de saída também, se houver mais de uma variável de saída.
Exemplo
Considere o seguinte truth table.
| Entradas | Resultado | ||
|---|---|---|---|
| p | q | r | f |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Aqui, a saída (f) é '1' para quatro combinações de entradas. Os termos min correspondentes são p'qr, pq'r, pqr ', pqr. Fazendo OR lógico desses quatro termos mínimos, obteremos a função booleana de saída (f).
Portanto, a função booleana de saída é, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr. Isto é ocanonical SoP formde saída, f. Também podemos representar essa função seguindo duas notações.
$$ f = m_ {3} + m_ {5} + m_ {6} + m_ {7} $$
$$ f = \ sum m \ left (3,5,6,7 \ right) $$
Em uma equação, representamos a função como a soma dos respectivos termos mínimos. Em outra equação, usamos o símbolo para a soma desses termos mínimos.
Formulário PoS canônico
A forma PoS canônica significa a forma de produto canônico de somas. Nesta forma, cada termo de soma contém todos os literais. Portanto, esses termos de soma nada mais são do que os termos máximos. Portanto, o formulário PoS canônico também é chamado deproduct of Max terms Formato.
Primeiro, identifique os termos máximos para os quais a variável de saída é zero e, em seguida, faça o AND lógico desses termos máximos para obter a expressão booleana (função) correspondente a essa variável de saída. Esta função booleana estará na forma de produto de termos máximos.
Siga o mesmo procedimento para outras variáveis de saída também, se houver mais de uma variável de saída.
Example
Considere a mesma tabela verdade do exemplo anterior. Aqui, a saída (f) é '0' para quatro combinações de entradas. Os termos máximos correspondentes são p + q + r, p + q + r ', p + q' + r, p '+ q + r. Fazendo o AND lógico desses quatro termos Max, obteremos a função booleana de saída (f).
Portanto, a função booleana de saída é, f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r). Isto é ocanonical PoS formde saída, f. Também podemos representar essa função seguindo duas notações.
$$ f = M_ {0} .M_ {1} .M_ {2} .M_ {4} $$
$$ f = \ prod M \ left (0,1,2,4 \ right) $$
Em uma equação, representamos a função como produto dos respectivos termos máximos. Em outra equação, usamos o símbolo para a multiplicação desses termos máximos.
A função booleana, f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r) é o dual da função booleana, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.
Portanto, os formulários canônicos de SoP e PoS canônicos são Dualum para o outro. Funcionalmente, essas duas formas são iguais. Com base no requisito, podemos usar um desses dois formulários.
Formulários padrão de SoP e PoS
Discutimos duas formas canônicas de representar as saídas booleanas. Da mesma forma, existem duas formas padrão de representar a (s) saída (s) Booleana (s). Estas são a versão simplificada dos formulários canônicos.
- Formulário SoP padrão
- Formulário PoS padrão
Discutiremos sobre portas lógicas em capítulos posteriores. O principaladvantagedas formas padrão é que o número de entradas aplicadas às portas lógicas pode ser minimizado. Às vezes, haverá redução no número total de portas lógicas necessárias.
Formulário SoP padrão
O formulário padrão do SoP significa Standard Sum of ProductsFormato. Nesse formulário, cada termo do produto não precisa conter todos os literais. Portanto, os termos do produto podem ou não ser os termos mínimos. Portanto, o formulário SoP padrão é a forma simplificada do formulário SoP canônico.
Obteremos a forma padrão SoP da variável de saída em duas etapas.
- Obtenha a forma canônica de SoP da variável de saída
- Simplifique a função booleana acima, que está no formato SoP canônico.
Siga o mesmo procedimento para outras variáveis de saída também, se houver mais de uma variável de saída. Às vezes, pode não ser possível simplificar o formulário SoP canônico. Nesse caso, os formulários SoP canônico e padrão são iguais.
Example
Converta a seguinte função booleana no formato SoP padrão.
f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr
A função booleana fornecida está no formato SoP canônico. Agora, temos que simplificar esta função booleana para obter a forma SoP padrão.
Step 1 - Use o Boolean postulate, x + x = x. Isso significa que a operação lógica OR com qualquer variável booleana 'n' vezes será igual à mesma variável. Então, podemos escrever o último termo pqr mais duas vezes.
⇒ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr
Step 2 - Use Distributive lawpara 1º e 4º termos, 2º e 5º termos, 3º e 6º termos.
⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q' + q) + pq (r '+ r)
Step 3 - Use Boolean postulate, x + x '= 1 para simplificar os termos presentes em cada parêntese.
⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)
Step 4 - Use Boolean postulate, x.1 = x para simplificar acima de três termos.
⇒ f = qr + pr + pq
⇒ f = pq + qr + pr
Esta é a função booleana simplificada. Portanto, ostandard SoP form corresponding to given canonical SoP form is f = pq + qr + pr
Standard PoS form
Standard PoS form means Standard Product of Sums form. In this form, each sum term need not contain all literals. So, the sum terms may or may not be the Max terms. Therefore, the Standard PoS form is the simplified form of canonical PoS form.
We will get Standard PoS form of output variable in two steps.
- Get the canonical PoS form of output variable
- Simplify the above Boolean function, which is in canonical PoS form.
Follow the same procedure for other output variables also, if there is more than one output variable. Sometimes, it may not possible to simplify the canonical PoS form. In that case, both canonical and standard PoS forms are same.
Example
Convert the following Boolean function into Standard PoS form.
f = (p + q + r).(p + q + r’).(p + q’ + r).(p’ + q + r)
The given Boolean function is in canonical PoS form. Now, we have to simplify this Boolean function in order to get standard PoS form.
Step 1 − Use the Boolean postulate, x.x = x. That means, the Logical AND operation with any Boolean variable ‘n’ times will be equal to the same variable. So, we can write the first term p+q+r two more times.
⇒ f = (p + q + r).(p + q + r).(p + q + r).(p + q + r’).(p +q’ + r).(p’ + q + r)
Step 2 − Use Distributive law, x + (y.z) = (x + y).(x + z) for 1st and 4th parenthesis, 2nd and 5th parenthesis, 3rd and 6th parenthesis.
⇒ f = (p + q + rr’).(p + r + qq’).(q + r + pp’)
Step 3 − Use Boolean postulate, x.x’=0 for simplifying the terms present in each parenthesis.
⇒ f = (p + q + 0).(p + r + 0).(q + r + 0)
Step 4 − Use Boolean postulate, x + 0 = x for simplifying the terms present in each parenthesis
⇒ f = (p + q).(p + r).(q + r)
⇒ f = (p + q).(q + r).(p + r)
This is the simplified Boolean function. Therefore, the standard PoS form corresponding to given canonical PoS form is f = (p + q).(q + r).(p + r). This is the dual of the Boolean function, f = pq + qr + pr.
Therefore, both Standard SoP and Standard PoS forms are Dual to each other.