Sistemas de radar - Receptor de filtro compatível

Se um filtro produz uma saída de forma a maximizar a proporção da potência de pico de saída para a potência de ruído média em sua resposta de frequência, esse filtro é chamado Matched filter.

Este é um critério importante, que é considerado ao projetar qualquer receptor de radar. Neste capítulo, vamos discutir a função de resposta em frequência do filtro compatível e a resposta ao impulso do filtro compatível.

Função de resposta de frequência do filtro compatível

A resposta de frequência do filtro compatível será proporcional ao conjugado complexo do espectro do sinal de entrada. Matematicamente, podemos escrever a expressão parafrequency response function, $ H \ left (f \ right) $ do filtro correspondente como -

$$ H \ left (f \ right) = G_aS ^ \ ast \ left (f \ right) e ^ {- j2 \ pi ft_1} \: \: \: \: \: Equação \: 1 $$

Onde,

$ G_a $ é o ganho máximo do filtro compatível

$ S \ left (f \ right) $ é a transformada de Fourier do sinal de entrada, $ s \ left (t \ right) $

$ S ^ \ ast \ left (f \ right) $ é o conjugado complexo de $ S \ left (f \ right) $

$ t_1 $ é o instante de tempo em que o sinal observado é máximo

Em geral, o valor de $ G_a $ é considerado um. Obteremos a seguinte equação substituindo $ G_a = 1 $ na Equação 1.

$$ H \ left (f \ right) = S ^ \ ast \ left (f \ right) e ^ {- j2 \ pi ft_1} \: \: \: \: \: Equação \: 2 $$

A função de resposta de frequência, $ H \ left (f \ right) $ do filtro Matched está tendo o magnitude de $ S ^ \ ast \ left (f \ right) $ e phase angle de $ e ^ {- j2 \ pi ft_1} $, que varia uniformemente com a frequência.

Resposta ao impulso do filtro compatível

Dentro time domain, obteremos a saída $ h (t) $ do receptor do filtro casado aplicando a transformada de Fourier inversa da função de resposta em frequência, $ H (f) $.

$$ h \ left (t \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} H \ left (f \ right) e ^ {- j2 \ pi ft_1} df \: \: \: \: \ : Equação \: 3 $$

Substitute, Equação 1 na Equação 3.

$$ h \ left (t \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ lbrace G_aS ^ \ ast \ left (f \ right) e ^ {- j2 \ pi ft_1} \ rbrace e ^ { j2 \ pi ft} df $$

$$ \ Rightarrow h \ left (t \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} G_aS ^ \ ast \ left (f \ right) e ^ {- j2 \ pi f \ left (t_1-t \ direita)} df \: \: \: \: \: Equação \: 4 $$

Conhecemos a seguinte relação.

$$ S ^ \ ast \ left (f \ right) = S \ left (-f \ right) \: \: \: \: \: Equação \: 5 $$

Substitute, Equação 5 na Equação 4.

$$ h \ left (t \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} G_aS (-f) e ^ {- j2 \ pi f \ left (t_1-t \ right)} df $$

$$ \ Rightarrow h \ left (t \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} G_aS ^ \ left (f \ right) e ^ {j2 \ pi f \ left (t_1-t \ right) } df $$

$$ \ Rightarrow h \ left (t \ right) = G_as (t_1 − t) \: \: \: \: \: Equação \: 6 $$

Em geral, o valor de $ G_a $ é considerado um. Obteremos a seguinte equação substituindo $ G_a = 1 $ na Equação 6.

$$ h (t) = s \ left (t_1-t \ right) $$

A equação acima prova que o impulse response of Matched filteré a imagem espelhada do sinal recebido sobre um instante de tempo $ t_1 $. As figuras a seguir ilustram esse conceito.

O sinal recebido, $ s \ left (t \ right) $ e a resposta ao impulso, $ h \ left (t \ right) $ do filtro casado correspondente ao sinal, $ s \ left (t \ right) $ são mostrados nas figuras acima.