MATLAB - Transforms
O MATLAB fornece comando para trabalhar com transformações, como as transformadas de Laplace e Fourier. As transformações são usadas na ciência e na engenharia como uma ferramenta para simplificar a análise e olhar para os dados de outro ângulo.
Por exemplo, a transformada de Fourier nos permite converter um sinal representado em função do tempo em função da frequência. A transformada de Laplace nos permite converter uma equação diferencial em uma equação algébrica.
MATLAB fornece o laplace, fourier e fft comandos para trabalhar com as transformações de Laplace, Fourier e Fast Fourier.
A Transformada Laplace
A transformada de Laplace de uma função de tempo f (t) é dada pela seguinte integral -
A transformada de Laplace também é denotada como transformada de f (t) em F (s). Você pode ver que esse processo de transformação ou integração converte f (t), uma função da variável simbólica t, em outra função F (s), com outra variável s.
A transformação de Laplace transforma equações diferenciais em algébricas. Para calcular uma transformada de Laplace de uma função f (t), escreva -
laplace(f(t))
Exemplo
Neste exemplo, calcularemos a transformada de Laplace de algumas funções comumente usadas.
Crie um arquivo de script e digite o seguinte código -
syms s t a b w
laplace(a)
laplace(t^2)
laplace(t^9)
laplace(exp(-b*t))
laplace(sin(w*t))
laplace(cos(w*t))
Quando você executa o arquivo, ele exibe o seguinte resultado -
ans =
1/s^2
ans =
2/s^3
ans =
362880/s^10
ans =
1/(b + s)
ans =
w/(s^2 + w^2)
ans =
s/(s^2 + w^2)
A Transformada Inversa de Laplace
O MATLAB nos permite calcular a transformação inversa de Laplace usando o comando ilaplace.
Por exemplo,
ilaplace(1/s^3)
O MATLAB irá executar a instrução acima e exibir o resultado -
ans =
t^2/2
Exemplo
Crie um arquivo de script e digite o seguinte código -
syms s t a b w
ilaplace(1/s^7)
ilaplace(2/(w+s))
ilaplace(s/(s^2+4))
ilaplace(exp(-b*t))
ilaplace(w/(s^2 + w^2))
ilaplace(s/(s^2 + w^2))
Quando você executa o arquivo, ele exibe o seguinte resultado -
ans =
t^6/720
ans =
2*exp(-t*w)
ans =
cos(2*t)
ans =
ilaplace(exp(-b*t), t, x)
ans =
sin(t*w)
ans =
cos(t*w)
As transformadas de Fourier
As transformadas de Fourier comumente transformam uma função matemática do tempo, f (t), em uma nova função, às vezes denotada por ou F, cujo argumento é frequência com unidades de ciclos / s (hertz) ou radianos por segundo. A nova função é então conhecida como transformada de Fourier e / ou espectro de frequência da função f.
Exemplo
Crie um arquivo de script e digite o seguinte código nele -
syms x
f = exp(-2*x^2); %our function
ezplot(f,[-2,2]) % plot of our function
FT = fourier(f) % Fourier transform
Quando você executa o arquivo, o MATLAB traça o seguinte gráfico -
O seguinte resultado é exibido -
FT =
(2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-w^2/8))/2
Traçando a transformada de Fourier como -
ezplot(FT)
Dá o seguinte gráfico -
Transformadas inversas de Fourier
MATLAB fornece o ifouriercomando para calcular a transformada inversa de Fourier de uma função. Por exemplo,
f = ifourier(-2*exp(-abs(w)))
O MATLAB irá executar a instrução acima e exibir o resultado -
f =
-2/(pi*(x^2 + 1))