MATLAB - Cálculo

O MATLAB fornece várias maneiras de resolver problemas de cálculo diferencial e integral, resolvendo equações diferenciais de qualquer grau e cálculo de limites. O melhor de tudo é que você pode facilmente plotar os gráficos de funções complexas e verificar máximos, mínimos e outros pontos fixos em um gráfico resolvendo a função original, bem como sua derivada.

Este capítulo tratará de problemas de cálculo. Neste capítulo, discutiremos os conceitos de pré-cálculo, ou seja, calcular os limites das funções e verificar as propriedades dos limites.

No próximo capítulo Diferencial , calcularemos a derivada de uma expressão e encontraremos os máximos e mínimos locais em um gráfico. Também discutiremos a resolução de equações diferenciais.

Finalmente, no capítulo Integração , discutiremos o cálculo integral.

Limites de cálculo

MATLAB fornece o limitfunção de cálculo de limites. Em sua forma mais básica, olimit A função leva a expressão como argumento e encontra o limite da expressão quando a variável independente vai para zero.

Por exemplo, vamos calcular o limite de uma função f (x) = (x ³ + 5) / (x ⁴ + 7), já que x tende a zero.

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

O MATLAB executará a instrução acima e retornará o seguinte resultado -

ans =
   5/7

A função limite cai no reino da computação simbólica; você precisa usar osymsfunção para dizer ao MATLAB quais variáveis simbólicas você está usando. Você também pode calcular o limite de uma função, pois a variável tende a algum número diferente de zero. Para calcular lim _{x-> a} (f (x)), usamos o comando limit com argumentos. O primeiro é a expressão e o segundo é o número, que se aproxima de x , aqui é a .

Por exemplo, vamos calcular o limite de uma função f (x) = (x-3) / (x-1), já que x tende a 1.

limit((x - 3)/(x-1),1)

O MATLAB executará a instrução acima e retornará o seguinte resultado -

ans =
   NaN

Vamos dar outro exemplo,

limit(x^2 + 5, 3)

O MATLAB executará a instrução acima e retornará o seguinte resultado -

ans =
   14

Cálculo de limites usando oitava

A seguir está a versão Octave do exemplo acima usando symbolic pacote, tente executar e comparar o resultado -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

O Octave irá executar a instrução acima e retornar o seguinte resultado -

ans =
   0.7142857142857142857

Verificação das propriedades básicas dos limites

O Teorema Algébrico do Limite fornece algumas propriedades básicas dos limites. Estes são os seguintes -

Vamos considerar duas funções -

f (x) = (3x + 5) / (x - 3)
g (x) = x ² + 1.

Vamos calcular os limites das funções como x tende a 5, de ambas as funções e verificar as propriedades básicas dos limites usando essas duas funções e o MATLAB.

Exemplo

Crie um arquivo de script e digite o seguinte código nele -

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)

Quando você executa o arquivo, ele exibe -

l1 =
   17
  
l2 =
   17
  
lAdd =
   34
 
lSub =
   0
  
lMult =
   289
  
lDiv =
   1

Verificação de propriedades básicas de limites usando oitava

A seguir está a versão Octave do exemplo acima usando symbolic pacote, tente executar e comparar o resultado -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;

l1 = subs(f, x, 4)
l2 = subs (g, x, 4)
lAdd = subs (f+g, x, 4)
lSub = subs (f-g, x, 4)
lMult = subs (f*g, x, 4)
lDiv = subs (f/g, x, 4)

O Octave irá executar a instrução acima e retornar o seguinte resultado -

l1 =
   17.0
l2 =
   17.0
lAdd =
   34.0
lSub =
   0.0
lMult =
   289.0
lDiv =
   1.0

Limites do lado esquerdo e direito

Quando uma função tem uma descontinuidade para algum valor particular da variável, o limite não existe naquele ponto. Em outras palavras, os limites de uma função f (x) tem descontinuidade em x = a, quando o valor do limite, conforme x se aproxima de x do lado esquerdo, não é igual ao valor do limite quando x se aproxima do lado direito.

Isso leva ao conceito de limites para destros e canhotos. Um limite para canhotos é definido como o limite quando x -> a, da esquerda, ou seja, x se aproxima de a, para valores de x <a. Um limite para destros é definido como o limite quando x -> a, da direita, ou seja, x se aproxima de a, para valores de x> a. Quando o limite para canhotos e o limite para destros não são iguais, o limite não existe.

Vamos considerar uma função -

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

Mostraremos que lim _{x-> 3} f (x) não existe. O MATLAB nos ajuda a estabelecer esse fato de duas maneiras -

Traçando o gráfico da função e mostrando a descontinuidade.
Calculando os limites e mostrando que ambos são diferentes.

Os limites para destros e canhotos são calculados passando as cadeias de caracteres 'esquerda' e 'direita' para o comando limit como último argumento.

Exemplo

Crie um arquivo de script e digite o seguinte código nele -

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

Quando você executa o arquivo, o MATLAB desenha o seguinte gráfico

Depois que a seguinte saída for exibida -

l =
   -1
  
r =
   1

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