MATLAB - Polinômios

MATLAB representa polinômios como vetores de linha contendo coeficientes ordenados por potências descendentes. Por exemplo, a equação P (x) = x ⁴ + 7x ³ - 5x + 9 pode ser representada como -

p = [1 7 0 -5 9];

Avaliando Polinômios

o polyvalfunção é usada para avaliar um polinômio em um valor especificado. Por exemplo, para avaliar nosso polinômio anteriorp, em x = 4, digite -

p = [1 7 0  -5 9];
polyval(p,4)

O MATLAB executa as instruções acima e retorna o seguinte resultado -

ans = 693

O MATLAB também fornece o polyvalmfunção para avaliar um polinômio de matriz. Um polinômio de matriz é umpolynomial com matrizes como variáveis.

Por exemplo, vamos criar uma matriz quadrada X e avaliar o polinômio p, em X -

p = [1 7 0  -5 9];
X = [1 2 -3 4; 2 -5 6 3; 3 1 0 2; 5 -7 3 8];
polyvalm(p, X)

O MATLAB executa as instruções acima e retorna o seguinte resultado -

ans =
      2307       -1769        -939        4499
      2314       -2376        -249        4695
      2256       -1892        -549        4310
      4570       -4532       -1062        9269

Encontrando as raízes dos polinômios

o rootsfunção calcula as raízes de um polinômio. Por exemplo, para calcular as raízes do nosso polinômio p, digite -

p = [1 7 0  -5 9];
r = roots(p)

O MATLAB executa as instruções acima e retorna o seguinte resultado -

r =
   -6.8661 + 0.0000i
   -1.4247 + 0.0000i
   0.6454 + 0.7095i
   0.6454 - 0.7095i

A função polyé um inverso da função de raízes e retorna aos coeficientes polinomiais. Por exemplo -

p2 = poly(r)

O MATLAB executa as instruções acima e retorna o seguinte resultado -

p2 =

   Columns 1 through 3:

      1.00000 + 0.00000i   7.00000 + 0.00000i   0.00000 + 0.00000i

   Columns 4 and 5:

      -5.00000 - 0.00000i   9.00000 + 0.00000i

Ajuste de curva polinomial

o polyfitfunção encontra os coeficientes de um polinômio que se ajusta a um conjunto de dados no sentido de mínimos quadrados. Se x e y são dois vetores contendo os dados x e y a serem ajustados a um polinômio de n graus, então obtemos o polinômio ajustando os dados escrevendo -

p = polyfit(x,y,n)

Exemplo

Crie um arquivo de script e digite o seguinte código -

x = [1 2 3 4 5 6]; y = [5.5 43.1 128 290.7 498.4 978.67];   %data
p = polyfit(x,y,4)   %get the polynomial

% Compute the values of the polyfit estimate over a finer range, 
% and plot the estimate over the real data values for comparison:
x2 = 1:.1:6;          
y2 = polyval(p,x2);
plot(x,y,'o',x2,y2)
grid on

Quando você executa o arquivo, o MATLAB exibe o seguinte resultado -

p =
   4.1056  -47.9607  222.2598 -362.7453  191.1250

E traça o seguinte gráfico -

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