Matemática Discreta - Regras de Inferência

Para deduzir novas afirmações a partir das afirmações cuja verdade já conhecemos, Rules of Inference são usados.

Para que servem as regras de inferência?

A lógica matemática é freqüentemente usada para provas lógicas. Provas são argumentos válidos que determinam os valores verdadeiros de afirmações matemáticas.

Um argumento é uma sequência de declarações. A última declaração é a conclusão e todas as suas declarações anteriores são chamadas de premissas (ou hipótese). O símbolo “$ \ portanto $”, (leia-se) é colocado antes da conclusão. Um argumento válido é aquele em que a conclusão decorre dos valores de verdade das premissas.

As regras de inferência fornecem os modelos ou diretrizes para construir argumentos válidos a partir das declarações que já temos.

Tabela de regras de inferência

Regra de inferência	Nome	Regra de inferência	Nome
$$ \ begin {matriz} P \\ \ hline \ portanto P \ lor Q \ end {matriz} $$	Adição	$$ \ begin {matriz} P \ lor Q \\ \ lnão P \\ \ hline \ portanto Q \ end {matriz} $$	Silogismo Disjuntivo
$$ \ begin {matriz} P \\ Q \\ \ hline \ portanto P \ land Q \ end {matriz} $$	Conjunção	$$ \ begin {matriz} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \ portanto P \ rightarrow R \ end {matriz} $$	Silogismo hipotético
$$ \ begin {matriz} P \ land Q \\ \ hline \ portanto P \ end {matriz} $$	Simplificação	$$ \ begin {matriz} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ P \ lor R \\ \ hline \ portanto Q \ lor S \ end {matriz} $$	Dilema Construtivo
$$ \ begin {matriz} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \ portanto Q \ end {matriz} $$	Modus ponens	$$ \ begin {matriz} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ \ lnão Q \ lor \ lnão S \\ \ hline \ portanto \ lnão P \ lor \ lnot R \ end {matriz} $$	Dilema Destrutivo
$$ \ begin {matriz} P \ rightarrow Q \\ \ lnão Q \\ \ hline \ portanto \ lnão P \ end {matriz} $$	Modus Tollens

Adição

Se P for uma premissa, podemos usar a regra de adição para derivar $ P \ lor Q $.

$$ \ begin {matriz} P \\ \ hline \ portanto P \ lor Q \ end {matriz} $$

Exemplo

Seja P a proposição, "Ele estuda muito" é verdade

Portanto - "Ou ele estuda muito ou é um péssimo aluno." Aqui, Q é a proposição “ele é um péssimo aluno”.

Conjunção

Se P e Q são duas premissas, podemos usar a regra de conjunção para derivar $ P \ land Q $.

$$ \ begin {matriz} P \\ Q \\ \ hline \ portanto P \ land Q \ end {matriz} $$

Exemplo

Vamos P - “Ele estuda muito”

Let Q - “Ele é o melhor menino da classe”

Portanto - "Ele estuda muito e é o melhor menino da classe"

Simplificação

Se $ P \ land Q $ é uma premissa, podemos usar a regra de simplificação para derivar P.

$$ \ begin {matriz} P \ land Q \\ \ hline \ portanto P \ end {matriz} $$

Exemplo

"Ele estuda muito e é o melhor menino da classe", $ P \ land Q $

Portanto - "Ele estuda muito"

Modus ponens

Se P e $ P \ rightarrow Q $ são duas premissas, podemos usar o Modus Ponens para derivar Q.

$$ \ begin {matriz} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \ portanto Q \ end {matriz} $$

Exemplo

"Se você tem uma senha, pode entrar no Facebook", $ P \ rightarrow Q $

“Você tem uma senha”, P

Portanto - "Você pode fazer logon no Facebook"

Modus Tollens

Se $ P \ rightarrow Q $ e $ \ lnot Q $ são duas premissas, podemos usar o Modus Tollens para derivar $ \ lnot P $.

$$ \ begin {matriz} P \ rightarrow Q \\ \ lnão Q \\ \ hline \ portanto \ lnão P \ end {matriz} $$

Exemplo

"Se você tem uma senha, pode entrar no Facebook", $ P \ rightarrow Q $

"Você não pode entrar no Facebook", $ \ lnot Q $

Portanto - "Você não tem uma senha"

Silogismo Disjuntivo

Se $ \ lnot P $ e $ P \ lor Q $ são duas premissas, podemos usar o silogismo disjuntivo para derivar Q.

$$ \ begin {matriz} \ lnão P \\ P \ lor Q \\ \ hline \ portanto Q \ end {matriz} $$

Exemplo

"O sorvete não tem sabor de baunilha", $ \ lnot P $

"O sorvete tem sabor de baunilha ou de chocolate", $ P \ lor Q $

Portanto - “O sorvete tem sabor de chocolate”

Silogismo hipotético

Se $ P \ rightarrow Q $ e $ Q \ rightarrow R $ são duas premissas, podemos usar o silogismo hipotético para derivar $ P \ rightarrow R $

$$ \ begin {matriz} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \ portanto P \ rightarrow R \ end {matriz} $$

Exemplo

"Se chover, não irei para a escola", $ P \ rightarrow Q $

"Se eu não for para a escola, não vou precisar fazer lição de casa", $ Q \ rightarrow R $

Portanto - "Se chover, não vou precisar fazer lição de casa"

Dilema Construtivo

Se $ (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) $ e $ P \ lor R $ são duas premissas, podemos usar o dilema construtivo para derivar $ Q \ lor S $.

$$ \ begin {matriz} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ P \ lor R \\ \ hline \ portanto Q \ lor S \ end {matriz} $$

Exemplo

“Se chover, vou tirar uma licença”, $ (P \ rightarrow Q) $

“Se estiver calor lá fora, vou tomar banho”, $ (R \ rightarrow S) $

“Ou vai chover ou faz calor lá fora”, $ P \ lor R $

Portanto - "Vou me despedir ou vou tomar um banho"

Dilema Destrutivo

Se $ (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) $ e $ \ lnot Q \ lor \ lnot S $ são duas premissas, podemos usar o dilema destrutivo para derivar $ \ lnot P \ lor \ lnot R $.

$$ \ begin {matriz} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ \ lnão Q \ lor \ lnão S \\ \ hline \ portanto \ lnão P \ lor \ lnot R \ end {matriz} $$

Exemplo

“Se chover, vou tirar uma licença”, $ (P \ rightarrow Q) $

“Se estiver calor lá fora, vou tomar banho”, $ (R \ rightarrow S) $

“Ou não vou tirar licença ou não vou tomar banho”, $ \ lnot Q \ lor \ lnot S $

Portanto - "Ou não chove ou não faz calor lá fora"