Operadores e postulados
A Teoria de Grupo é um ramo da matemática e da álgebra abstrata que define uma estrutura algébrica denominada group. Geralmente, um grupo é composto por um conjunto de elementos e uma operação sobre quaisquer dois elementos nesse conjunto para formar um terceiro elemento também nesse conjunto.
Em 1854, Arthur Cayley, o matemático britânico, deu a definição moderna de grupo pela primeira vez -
“Um conjunto de símbolos todos diferentes, e tal que o produto de quaisquer dois deles (não importa em que ordem), ou o produto de qualquer um deles em si mesmo, pertence ao conjunto, é considerado um grupo . Esses símbolos não são em geral conversíveis [comutativos], mas são associativos. ”
Neste capítulo, saberemos sobre operators and postulates que formam os fundamentos da teoria dos conjuntos, teoria dos grupos e álgebra booleana.
Qualquer conjunto de elementos em um sistema matemático pode ser definido com um conjunto de operadores e uma série de postulados.
UMA binary operatordefinida em um conjunto de elementos é uma regra que atribui a cada par de elementos um elemento exclusivo desse conjunto. Por exemplo, dado o conjunto $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \ rbrace $, podemos dizer que $ \ otimes $ é um operador binário para a operação $ c = a \ otimes b $, se especificar uma regra para encontrar c para o par de $ (a, b) $, tal que $ a, b, c \ em A $.
o postulatesde um sistema matemático formam as suposições básicas a partir das quais as regras podem ser deduzidas. Os postulados são -
Fecho
Um conjunto é fechado em relação a um operador binário se, para cada par de elementos no conjunto, o operador encontrar um elemento único desse conjunto.
Exemplo
Seja $ A = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $
Este conjunto é fechado pelo operador binário em $ (\ ast) $, porque para a operação $ c = a \ ast b $, para qualquer $ a, b \ em A $, o produto $ c \ em A $.
O conjunto não é fechado sob o operador binário divisão $ (\ div) $, porque, para a operação $ c = a \ div b $, para qualquer $ a, b \ em A $, o produto c pode não estar no conjunto A. Se $ a = 7, b = 2 $, então $ c = 3,5 $. Aqui $ a, b \ in A $ mas $ c \ notin A $.
Leis Associativas
Um operador binário $ \ otimes $ em um conjunto A é associativo quando contém a seguinte propriedade -
$ (x \ otimes y) \ otimes z = x \ otimes (y \ otimes z) $, onde $ x, y, z \ em A $
Exemplo
Seja $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $
O operador mais $ (+) $ é associativo porque para quaisquer três elementos, $ x, y, z \ em A $, a propriedade $ (x + y) + z = x + (y + z) $ é válida.
O operador menos $ (-) $ não é associativo, pois
$$ (x - y) - z \ ne x - (y - z) $$
Leis Comutativas
Um operador binário $ \ otimes $ em um conjunto A é comutativo quando possui a seguinte propriedade -
$ x \ otimes y = y \ otimes x $, onde $ x, y \ em A $
Exemplo
Seja $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $
O operador mais $ (+) $ é comutativo porque para quaisquer dois elementos, $ x, y \ em A $, a propriedade $ x + y = y + x $ é válida.
O operador menos $ (-) $ não é associativo, pois
$$ x - y \ ne y - x $$
Leis distributivas
Dois operadores binários $ \ otimes $ e $ \ circledast $ em um conjunto A são distributivos sobre o operador $ \ circledast $ quando a seguinte propriedade é válida -
$ x \ otimes (y \ circledast z) = (x \ otimes y) \ circledast (x \ otimes z) $, onde $ x, y, z \ em A $
Exemplo
Seja $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $
Os operadores em $ (*) $ e mais $ (+) $ são distributivos em relação ao operador + porque para quaisquer três elementos, $ x, y, z \ em A $, a propriedade $ x * (y + z) = (x * y) + (x * z) $ mantém.
No entanto, esses operadores não são distributivos acima de $ * $, uma vez que
$$ x + (y * z) \ ne (x + y) * (x + z) $$
Elemento de Identidade
Um conjunto A tem um elemento de identidade em relação a uma operação binária $ \ otimes $ em A, se existir um elemento $ e \ em A $, de modo que a seguinte propriedade seja válida -
$ e \ otimes x = x \ otimes e $, onde $ x \ em A $
Exemplo
Seja $ Z = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $
O elemento 1 é um elemento de identidade em relação à operação $ * $, pois para qualquer elemento $ x \ em Z $,
$$ 1 * x = x * 1 $$
Por outro lado, não há elemento de identidade para a operação menos $ (-) $
Inverso
Se um conjunto A tem um elemento de identidade $ e $ em relação a um operador binário $ \ otimes $, diz-se que tem um inverso sempre que para cada elemento $ x \ em A $ existe outro elemento $ y \ em A $ , de modo que a seguinte propriedade seja válida -
$$ x \ otimes y = e $$
Exemplo
Seja $ A = \ lbrace \ dots -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $
Dada a operação mais $ (+) $ e $ e = 0 $, o inverso de qualquer elemento x é $ (- x) $, pois $ x + (x) = 0 $
Lei De Morgan
As Leis de De Morgan fornecem um par de transformações entre união e interseção de dois (ou mais) conjuntos em termos de seus complementos. As leis são -
$$ (A \ xícara B) '= A' \ cap B '$$
$$ (A \ cap B) '= A' \ xícara B '$$
Exemplo
Seja $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace, B = \ lbrace 1, 3, 5, 7 \ rbrace $, e
Conjunto universal $ U = \ lbrace 1, 2, 3, \ dots, 9, 10 \ rbrace $
$ A '= \ lbrace 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace $
$ B '= \ lbrace 2, 4, 6, 8, 9, 10 \ rbrace $
$ A \ cup B = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 7 \ rbrace $
$ A \ cap B = \ lbrace 1, 3 \ rbrace $
$ (A \ cup B) '= \ lbrace 6, 8, 9, 10 \ rbrace $
$ A '\ cap B' = \ lbrace 6, 8, 9, 10 \ rbrace $
Assim, vemos que $ (A \ cup B) '= A' \ cap B '$
$ (A \ cap B) '= \ lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace $
$ A '\ cup B' = \ lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace $
Assim, vemos que $ (A \ cap B) '= A' \ cup B '$