Matemática Discreta - Probabilidade
Intimamente relacionado aos conceitos de contagem está a Probabilidade. Freqüentemente, tentamos adivinhar os resultados de jogos de azar, como jogos de cartas, caça-níqueis e loterias; isto é, tentamos encontrar a probabilidade de que um determinado resultado seja obtido.
Probabilitypode ser conceituado como encontrar a chance de ocorrência de um evento. Matematicamente, é o estudo de processos aleatórios e seus resultados. As leis da probabilidade têm ampla aplicabilidade em uma variedade de campos, como genética, previsão do tempo, pesquisas de opinião, mercados de ações, etc.
Conceitos Básicos
A teoria da probabilidade foi inventada no século 17 por dois matemáticos franceses, Blaise Pascal e Pierre de Fermat, que lidavam com problemas matemáticos relacionados ao acaso.
Antes de prosseguir com os detalhes da probabilidade, vamos obter o conceito de algumas definições.
Random Experiment- Um experimento no qual todos os resultados possíveis são conhecidos e a saída exata não pode ser prevista com antecedência é chamado de experimento aleatório. Jogar uma moeda justa é um exemplo de experimento aleatório.
Sample Space- Quando realizamos um experimento, o conjunto S de todos os resultados possíveis é chamado de espaço amostral. Se jogarmos uma moeda, o espaço amostral $ S = \ left \ {H, T \ right \} $
Event- Qualquer subconjunto de um espaço de amostra é chamado de evento. Depois de jogar uma moeda, colocar a Cabeça no topo é um evento.
A palavra "probabilidade" significa a chance de ocorrência de um evento específico. O melhor que podemos dizer é qual a probabilidade de acontecer, usando a ideia de probabilidade.
$ Probabilidade \: de \: ocorrência \: de \: um \: evento = \ frac {Total \: número \: de \: favorável \: resultado} {Total \: número \: de \: Resultados} $
Como a ocorrência de algum evento varia entre 0% e 100%, a probabilidade varia entre 0 e 1.
Passos para encontrar a probabilidade
Etapa 1 - Calcule todos os resultados possíveis do experimento.
Etapa 2 - Calcule o número de resultados favoráveis do experimento.
Etapa 3 - Aplicar a fórmula de probabilidade correspondente.
Jogando uma moeda
Se uma moeda for lançada, existem dois resultados possíveis - Cara $ (H) $ ou Coroa $ (T) $
Portanto, número total de resultados = 2
Portanto, a probabilidade de obter um Head $ (H) $ no topo é 1/2 e a probabilidade de obter um Tails $ (T) $ no topo é 1/2
Jogando um Dado
Quando um dado é lançado, seis resultados possíveis podem estar no topo - $ 1, 2, 3, 4, 5, 6 $.
A probabilidade de qualquer um dos números é 1/6
A probabilidade de obter números pares é 3/6 = 1/2
A probabilidade de obter números ímpares é 3/6 = 1/2
Pegando cartas de um baralho
Em um baralho de 52 cartas, se uma carta for escolhida, calcule a probabilidade de um ás ser sorteado e também a probabilidade de um ouros ser sorteado.
Número total de resultados possíveis - 52
Resultado de ser um ás - 4
Probabilidade de ser um ás = 4/52 = 1/13
Probabilidade de ser um diamante = 13/52 = 1/4
Axiomas de probabilidade
A probabilidade de um evento sempre varia de 0 a 1. $ [0 \ leq P (x) \ leq 1] $
Para um evento impossível, a probabilidade é 0 e para um certo evento a probabilidade é 1.
Se a ocorrência de um evento não é influenciada por outro evento, eles são chamados de mutuamente exclusivos ou separados.
Se $ A_1, A_2 .... A_n $ são eventos mutuamente exclusivos / disjuntos, então $ P (A_i \ cap A_j) = \ emptyset $ para $ i \ ne j $ e $ P (A_1 \ cup A_2 \ cup .. .. A_n) = P (A_1) + P (A_2) + ..... P (A_n) $
Propriedades de probabilidade
Se houver dois eventos $ x $ e $ \ overline {x} $ que são complementares, então a probabilidade do evento complementar é -
$$ p (\ overline {x}) = 1-p (x) $$
Para dois eventos A e B não disjuntos, a probabilidade de união de dois eventos -
$ P (A \ xícara B) = P (A) + P (B) $
Se um evento A é um subconjunto de outro evento B (ou seja, $ A \ subconjunto B $), então a probabilidade de A é menor ou igual à probabilidade de B. Portanto, $ A \ subconjunto B $ implica $ P (A ) \ leq p (B) $
Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional de um evento B é a probabilidade de que o evento ocorra desde que um evento A já tenha ocorrido. Isso é escrito como $ P (B | A) $.
Matematicamente - $ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) $
Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, então a probabilidade condicional do evento B após o evento A será a probabilidade do evento B que é $ P (B) $.
Problem 1
Em um país, 50% de todos os adolescentes possuem uma bicicleta e 30% de todos os adolescentes possuem uma bicicleta e bicicleta. Qual é a probabilidade de um adolescente possuir bicicleta, visto que o adolescente possui uma bicicleta?
Solution
Suponhamos que A seja o evento de adolescentes que possuem apenas uma bicicleta e B é o evento de adolescentes que possuem apenas uma bicicleta.
Portanto, $ P (A) = 50/100 = 0,5 $ e $ P (A \ cap B) = 30/100 = 0,3 $ do problema fornecido.
$ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) = 0,3 / 0,5 = 0,6 $
Assim, a probabilidade de um adolescente possuir bicicleta, visto que o adolescente possui uma bicicleta, é de 60%.
Problem 2
Em uma classe, 50% de todos os alunos jogam críquete e 25% de todos os alunos jogam críquete e vôlei. Qual é a probabilidade de um aluno jogar vôlei, visto que o aluno joga críquete?
Solution
Suponhamos que A seja o evento de alunos que jogam apenas críquete e B seja o evento de alunos que jogam apenas voleibol.
Portanto, $ P (A) = 50/100 = 0,5 $ e $ P (A \ cap B) = 25/100 = 0,25 $ do problema fornecido.
$ P \ lgrupo B \ rvert A \ rgrupo = P \ lgrupo A \ cap B \ rgrupo / P \ lgrupo A \ rgrupo = 0,25 / 0,5 = 0,5 $
Portanto, a probabilidade de um aluno jogar voleibol, visto que o aluno joga críquete, é de 50%.
Problem 3
Seis laptops bons e três laptops defeituosos estão misturados. Para encontrar os laptops com defeito, todos eles são testados um a um aleatoriamente. Qual é a probabilidade de encontrar os dois laptops com defeito nas duas primeiras opções?
Solution
Seja A o evento em que encontramos um laptop com defeito no primeiro teste e B o evento em que encontramos um laptop com defeito no segundo teste.
Portanto, $ P (A \ cap B) = P (A) P (B | A) = 3/9 \ vezes 2/8 = 1/12 $
Teorema de Bayes
Theorem- Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos, onde $ P (A) $ é a probabilidade de A e $ P (B) $ é a probabilidade de B, $ P (A | B) $ é a probabilidade de A dado que B é verdade. $ P (B | A) $ é a probabilidade de B dado que A é verdadeiro, então o Teorema de Bayes afirma -
$$ P (A | B) = \ frac {P (B | A) P (A)} {\ sum_ {i = 1} ^ {n} P (B | Ai) P (Ai)} $$
Aplicação do Teorema de Bayes
Em situações em que todos os eventos do espaço de amostra são eventos mutuamente exclusivos.
Em situações em que $ P (A_i \ cap B) $ para cada $ A_i $ ou $ P (A_i) $ e $ P (B | A_i) $ para cada $ A_i $ são conhecidos.
Problem
Considere três suportes para canetas. O primeiro suporte para canetas contém 2 canetas vermelhas e 3 canetas azuis; o segundo possui 3 canetas vermelhas e 2 canetas azuis; e o terceiro possui 4 canetas vermelhas e 1 caneta azul. A probabilidade de cada suporte de caneta ser selecionado é igual. Se uma caneta for desenhada ao acaso, qual é a probabilidade de que seja uma caneta vermelha?
Solution
Seja $ a_i $ ser o evento que i th pen-stand é selecionado.
Aqui, i = 1,2,3.
Como a probabilidade de escolher um suporte para caneta é igual, $ P (A_i) = 1/3 $
Seja B o evento em que uma caneta vermelha é desenhada.
A probabilidade de que uma caneta vermelha seja escolhida entre as cinco canetas do primeiro suporte para canetas,
$ P (B | A_1) = 2/5 $
A probabilidade de que uma caneta vermelha seja escolhida entre as cinco canetas do segundo suporte para canetas,
$ P (B | A_2) = 3/5 $
A probabilidade de que uma caneta vermelha seja escolhida entre as cinco canetas do terceiro suporte para canetas,
$ P (B | A_3) = 4/5 $
De acordo com o Teorema de Bayes,
$ P (B) = P (A_1) .P (B | A_1) + P (A_2) .P (B | A_2) + P (A_3) .P (B | A_3) $
$ = 1/3. 2/5 \: + \: 1/3. 3/5 \: + \: 1/3. 4/5 $
$ = 3/5 $