Modulação de amplitude
Uma onda contínua continua continuamente sem quaisquer intervalos e é o sinal de mensagem de banda base, que contém a informação. Esta onda deve ser modulada.
De acordo com a definição padrão, “A amplitude do sinal portador varia de acordo com a amplitude instantânea do sinal modulante”. Ou seja, a amplitude do sinal da portadora não contendo informação varia de acordo com a amplitude do sinal contendo informação, a cada instante. Isso pode ser bem explicado pelas seguintes figuras.
A primeira figura mostra a onda modulante, que é o sinal de mensagem. A próxima é a onda portadora, que é um sinal de alta frequência e não contém informações. Enquanto, o último é a onda modulada resultante.
Pode-se observar que os picos positivo e negativo da onda portadora, estão interligados com uma linha imaginária. Esta linha ajuda a recriar a forma exata do sinal de modulação. Esta linha imaginária na onda portadora é chamada deEnvelope. É igual ao do sinal de mensagem.
Expressões Matemáticas
A seguir estão as expressões matemáticas para essas ondas.
Representação das ondas no domínio do tempo
Deixe o sinal de modulação ser,
$$ m \ left (t \ right) = A_m \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $$
e o sinal da portadora seja,
$$ c \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Onde,
$ A_m $ e $ A_c $ são a amplitude do sinal de modulação e do sinal da portadora, respectivamente.
$ f_m $ e $ f_c $ são a frequência do sinal modulante e do sinal da portadora, respectivamente.
Então, a equação da onda modulada em amplitude será
$ s (t) = \ left [A_c + A_m \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $ (Equação 1)
Índice de modulação
Uma onda portadora, depois de modulada, se o nível modulado for calculado, essa tentativa é chamada de Modulation Index ou Modulation Depth. Ele afirma o nível de modulação que uma onda portadora sofre.
Reorganize a Equação 1 conforme abaixo.
$ s (t) = A_c \ left [1+ \ left (\ frac {A_m} {A_c} \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $
$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + \ mu \ cos \ left (2 \ pi f_m t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $ ( Equação 2)
Onde, $ \ mu $ é o índice de modulação e é igual à razão de $ A_m $ e $ A_c $. Matematicamente, podemos escrever como
$ \ mu = \ frac {A_m} {A_c} $ (Equação 3)
Portanto, podemos calcular o valor do índice de modulação usando a fórmula acima, quando as amplitudes dos sinais de mensagem e portadora são conhecidos.
Agora, vamos derivar mais uma fórmula para o índice de modulação, considerando a Equação 1. Podemos usar esta fórmula para calcular o valor do índice de modulação, quando as amplitudes máxima e mínima da onda modulada são conhecidas.
Sejam $ A_ \ max $ e $ A_ \ min $ as amplitudes máxima e mínima da onda modulada.
Obteremos a amplitude máxima da onda modulada, quando $ \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $ é 1.
$ \ Rightarrow A_ \ max = A_c + A_m $ (Equação 4)
Obteremos a amplitude mínima da onda modulada, quando $ \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $ é -1.
$ \ Rightarrow A_ \ min = A_c - A_m $ (Equação 5)
Adicione a Equação 4 e a Equação 5.
$$ A_ \ max + A_ \ min = A_c + A_m + A_c-A_m = 2A_c $$
$ \ Rightarrow A_c = \ frac {A_ \ max + A_ \ min} {2} $ (Equação 6)
Subtraia a Equação 5 da Equação 4.
$$ A_ \ max - A_ \ min = A_c + A_m - \ left (A_c -A_m \ right) = 2A_m $$
$ \ Rightarrow A_m = \ frac {A_ \ max - A_ \ min} {2} $ (Equação 7)
A proporção da Equação 7 e da Equação 6 será a seguinte.
$$ \ frac {A_m} {A_c} = \ frac {\ left (A_ {max} - A_ {min} \ right) / 2} {\ left (A_ {max} + A_ {min} \ right) / 2 } $$
$ \ Rightarrow \ mu = \ frac {A_ \ max - A_ \ min} {A_ \ max + A_ \ min} $ (Equação 8)
Portanto, a Equação 3 e a Equação 8 são as duas fórmulas para o índice de modulação. O índice de modulação ou profundidade de modulação é freqüentemente denotado em porcentagem chamada de Porcentagem de Modulação. Vamos pegar opercentage of modulation, apenas multiplicando o valor do índice de modulação por 100.
Para uma modulação perfeita, o valor do índice de modulação deve ser 1, o que implica que o percentual de modulação deve ser 100%.
Por exemplo, se este valor for menor que 1, ou seja, o índice de modulação é 0,5, então a saída modulada seria semelhante à figura a seguir. É chamado deUnder-modulation. Essa onda é chamada deunder-modulated wave.
Se o valor do índice de modulação for maior que 1, ou seja, 1,5 ou mais, então a onda será um over-modulated wave. Seria semelhante à figura a seguir.
À medida que o valor do índice de modulação aumenta, a portadora experimenta uma reversão de fase de 180 o , o que causa bandas laterais adicionais e, portanto, a onda fica distorcida. Essa onda supermodulada causa interferência, que não pode ser eliminada.
Largura de banda de AM Wave
Bandwidth(BW) é a diferença entre as frequências mais alta e mais baixa do sinal. Matematicamente, podemos escrever como
$$ BW = f_ {max} - f_ {min} $$
Considere a seguinte equação de onda modulada em amplitude.
$$ s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + \ mu \ cos \ left (2 \ pi f_m t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
$$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + A_c \ mu \ cos (2 \ pi f_ct) \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $$
$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c + f_m \ right) t \ right] + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] $
Portanto, a onda modulada em amplitude tem três frequências. Essas são a frequência da portadora $ f_c $, a frequência da banda lateral superior $ f_c + f_m $ e a frequência da banda lateral inferior $ f_c-f_m $
Aqui,
$ f_ {max} = f_c + f_m $ e $ f_ {min} = f_c-f_m $
Substitua os valores $ f_ {max} $ e $ f_ {min} $ na fórmula de largura de banda.
$$ BW = f_c + f_m- \ left (f_c-f_m \ right) $$
$$ \ Rightarrow BW = 2f_m $$
Assim, pode-se dizer que a largura de banda necessária para a onda modulada em amplitude é o dobro da freqüência do sinal modulante.
Cálculos de potência da onda AM
Considere a seguinte equação de onda modulada em amplitude.
$ \ s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c + f_m \ direita) t \ direita] + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ esquerda [2 \ pi \ esquerda (f_c-f_m \ direita) t \ direita] $
A potência da onda AM é igual à soma das potências dos componentes de frequência da portadora, banda lateral superior e banda lateral inferior.
$$ P_t = P_c + P_ {USB} + P_ {LSB} $$
Sabemos que a fórmula padrão para a potência do sinal cos é
$$ P = \ frac {{v_ {rms}} ^ {2}} {R} = \ frac {\ left (v_m / \ sqrt {2} \ right) ^ 2} {2} $$
Onde,
$ v_ {rms} $ é o valor rms do sinal cos.
$ v_m $ é o valor de pico do sinal cos.
Primeiro, vamos encontrar os poderes do portador, a banda lateral superior e inferior, uma por uma.
Poder portador
$$ P_c = \ frac {\ left (A_c / \ sqrt {2} \ right) ^ 2} {R} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} $$
Potência da banda lateral superior
$$ P_ {USB} = \ frac {\ left (A_c \ mu / 2 \ sqrt {2} \ right) ^ 2} {R} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} $$
Da mesma forma, obteremos a potência da banda lateral inferior igual à potência da banda lateral superior.
$$ P_ {LSB} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} $$
Agora, vamos adicionar essas três potências para obter a potência da onda AM.
$$ P_t = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} $$
$$ \ Rightarrow P_t = \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} \ right) \ left (1+ \ frac {\ mu ^ 2} {4} + \ frac {\ mu ^ 2} {4} \ right) $$
$$ \ Rightarrow P_t = P_c \ left (1+ \ frac {\ mu ^ 2} {2} \ right) $$
Podemos usar a fórmula acima para calcular a potência da onda AM, quando a potência da portadora e o índice de modulação são conhecidos.
Se o índice de modulação $ \ mu = 1 $, então a potência da onda AM é igual a 1,5 vezes a potência da portadora. Portanto, a potência necessária para transmitir uma onda AM é 1,5 vezes a potência da portadora para uma modulação perfeita.